Kierunek Matematyka (st I): Tematyka prac dyplomowych licencjackich (2017-2018)

Proponowana tematyka prac dyplomowych licencjackich na kierunku Matematyka
Rok akademicki 2017/2018



Dr inż. Marcin Adam


Całka Stieltjesa jako uogólnienie całki Riemanna
W pracy przedstawiona zostanie ważna klasa funkcji o wahaniu ograniczonym, która odgrywa podstawową rolę w uogólnieniu pojęcia całki oznaczonej. Następnie zostanie wprowadzona definicja całki Stieltjesa, opisane warunki jej istnienia i podstawowe własności. Pokazane będzie sprowadzenie całki Stieltjesa do całki Riemanna. Całość będzie uzupełniona licznymi przykładami opracowanymi przez dyplomanta. W końcowej części pracy podane będą zastosowania całki Stieltjesa w teorii prawdopodobieństwa. Praca będzie oparta na klasycznych wynikach z tej dziedziny. Literatura w języku polskim i angielskim.

Stabilność równań funkcyjnych
W pracy omówione zostaną najważniejsze równania funkcyjne, a następnie przedstawiona zostanie geneza problemu stabilności równań funkcyjnych pochodząca od S. Ulama z 1940 r. oraz pierwsze rozwiązanie tego problemu pochodzące od D. Hyers’a z 1941 r. W dalszej części pracy pokazane będą różne uogólnienia wyniku Hyers’a oraz liczne przykłady opracowane przez dyplomanta. Zaprezentowana też będzie inna metoda dowodzenia stabilności danego równania funkcyjnego z wykorzystaniem pewnej wersji twierdzenia o punkcie stałym. Praca będzie oparta na klasycznych i najnowszych wynikach z tej dziedziny. Literatura w języku angielskim.

Średnie w matematyce i ich własności
W pracy przedstawione zostaną definicje podstawowych średnich występujących w matematyce – arytmetycznej, geometrycznej, harmonicznej, logarytmicznej itd. oraz związki między nimi. Omówiona zostanie też średnia arytmetyczno-geometryczna oraz inne rodzaje średnich (np. quasi-arytmetyczna) wraz z zastosowaniami. Zaprezentowane będzie również pojęcie średniej niezmienniczej w kontekście teorii równań funkcyjnych. Całość pracy będzie uzupełniona licznymi przykładami opracowanymi przez dyplomanta. Praca będzie oparta na klasycznych i najnowszych wynikach z tej dziedziny. Literatura w języku angielskim.

Równanie funkcjonałów kwadratowych
W pracy omówione zostanie jedno z najważniejszych równań funkcyjnych – równanie kwadratowe. Przedstawione będą jego ogólne i ciągłe rozwiązania w różnych strukturach algebraicznych. Pokazane zostaną podstawowe własności tego równania, a także pewne jego uogólnienia i postaci równoważne. Podane zostanie wykorzystanie równania kwadratowego do charakteryzacji przestrzeni unitarnych. W dalszej części pracy przedstawiony zostanie problem stabilności tego równania. Literatura w języku angielskim.


Dr inż. Andrzej Kasperski


Przestrzenie modularne rzeczywiste
W projekcie należy omówić pojęcie normy oraz F-normy w przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych, a następnie zdefiniować przestrzenie Banacha i Frecheta. W dalszej części omówić pojęcie modularu, pojęcie przestrzeni modularnej. Dalej należy zdefiniować F-normę i normę w przestrzeni modularnej oraz pokazać, że definicje są poprawne. W ostatniej części należy omówić zbieżność modularną oraz zbieżność normową w przestrzeni modularnej oraz podać przykłady.

Ekstrema warunkowe – metoda Bellmana
W projekcie należy przedstawić przykłady klasycznych zadań analizy matematycznej, które rozwiązujemy metodą Bellmana. Na koniec należy przedstawić klasyczne zadanie programowania dynamicznego: zagadnienie alokacji.

Metryka Hausdorffa, jej własności i zastosowania
W projekcie należy omówić podstawowe definicje i twierdzenia związane z metryką Hausdorffa, omówić przestrzeń metryczną Hausdorffa, podać przykłady wyznaczania odległości zbiorów. Omówić zbieżność ciągu zbiorów w sensie Kuratowskiego, a następnie podać z dowodem fundamentalne twierdzenie o zupełności przestrzeni B(X).

Ciągłość multifunkcji
W projekcie należy zdefiniować półciągłość z dołu i półciągłość z góry multifunkcji, podać przykłady, na tej podstawie zdefiniować ciągłość multifunkcji, a następnie porównać tą definicję po pierwsze z definicją ciągłości funkcji, a następnie z innymi definicjami ciągłości multifunkcji. w szczególności wynikającą z definicji Kuratowskiego zbieżności ciągu zbiorów, a także z definicją wynikającą z metryki Hausdorffa.


Dr inż. Jakub Jan Ludew


Elementarne wprowadzenie do teorii szeregów Fouriera
Lemat Riemanna-Lebesgue'a, jądro Dirichleta, test Diniego, sumowalność w sensie Cesaro i jądro Fejera, twierdzenie Fejera, twierdzenie o jednoznaczności.

Formy różniczkowe a twierdzenie Brouwera
Zastosowanie maszynerii form różniczkowych do dowodu twierdzenia Brouwera, poprzedzone elementarnym wprowadzeniem do teorii form różniczkowych w kontekście przestrzeni euklidesowych – iloczyn Grassmanna, cofnięcie formy, pochodna zewnętrzna i całka formy różniczkowej, ogólne twierdzenie Stokesa.

Elementarne wprowadzenie do zagadnienia podprzestrzeni niezmienniczych
Geneza problemu podprzestrzeni niezmienniczych – twierdzenie Schura i rozkład kanoniczny Jordana, podprzestrzenie niezmiennicze w Cn, twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich i normalnych, operatory zwarte, twierdzenie Łomonosowa.

Elementarne wprowadzenie do geometrii różniczkowej powierzchni
Pierwsza i druga forma fundamentalna powierzchni, krzywizny główne i krzywizna Gaussa, Gaussa Theorema Egregium.

Pewne dowody fundamentalnego twierdzenia algebry
Zazwyczaj FTA dowodzone jest w ramach kursu teorii funkcji zespolonych, jako wniosek z twierdzenia Liouville’a, zasady maksimum czy też twierdzenia Rouchego. Celem pracy jest szczegółowe i elementarne zaprezentowanie pewnych dowodów FTA o charakterze geometrycznym i topologicznym, z którymi student nie zetknie się w ramach standardowych kursów , a które ze względu na angażowane pojęcia i metody (rzut stereograficzny, punkty krytyczne odwzorowania, pierwsza grupa homotopii) są interesujące same w sobie.

Dwa podejścia do dowodu twierdzenia Picarda-Lindelöfa
Tematem jest twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, rzędu pierwszego, z zadanymi warunkami początkowymi.
Celem pracy jest szczegółowe i elementarne zaprezentowanie klasycznego dowodu tegoż twierdzenia (a także dowodu gładkiej zależności od warunków początkowych - przy stosownych założeniach) oraz dowodu bazującego na nieskończenie-wymiarowym rachunku różniczkowym, które to podejście znacznie redukuje niezbędny do przeprowadzenia dowodu wysiłek (zwłaszcza w odniesieniu do gładkiej zależności od warunków początkowych).

O pewnych własnościach funkcji gładkich
Celem pracy jest szczegółowe i elementarne przedstawienie pewnych własności odwzorowań gładkich (fundamentalnych m.in. w topologii różniczkowej) oraz ich zastosowań (gładki rozkład jedności, gładka wersja lematu Ursona i twierdzenia Tietzego, lemat Borela, twierdzenie aproksymacyjne Whitneya, istnienie funkcji gładkich o dowolnie zadanym, domkniętym, zbiorze zer).

Liczby hiperzespolone Hamiltona w kontekście algebr Clifforda
Wiele opracowań prezentuje algebrę Hamiltona (której elementy zazwyczaj nazywane są kwaternionami) w sposób ad hoc. Celem pracy jest szczegółowe i elementarne przedstawienie pojęcia algebry Clifforda, pewnych motywacji do tegoż pojęcia prowadzących oraz ukazanie algebry Hamiltona jako konkretnej realizacji pojęcia algebry Clifforda.


Dr Janina Macura


Funkcje holomorficzne
Celem pracy jest przedstawienie podstawowych własności funkcji holomorficznych. Po wprowadzeniu pojęć wstępnych, zdefiniowaniu pochodnej funkcji zmiennej zespolonej i funkcji holomorficznej należy zdefiniować całkę krzywoliniową funkcji zmiennej zespolonej. Zostaną określone specyficzne własności funkcji holomorficznych wyrażone w twierdzeniu całkowym Cauchy'ego, we wzorze całkowym Cauchy'ego, w twierdzeniu o rozwijalności funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Część twierdzeń zostanie udowodniona.

Całki zespolone
Celem pracy jest przedstawienie zastosowania residuów do obliczania całek. Po zdefiniowaniu całki funkcji zmiennej zespolonej należy przedstawić twierdzenie Cauchy'ego oraz wzór całkowy Cauchy'ego. Po zdefiniowaniu szeregu Laurenta, punktów osobliwych, wprowadzeniu twierdzenia o przedstawieniu funkcji holomorficznej w pierścieniu w postaci szeregu Laurenta, należy zdefiniować residuum funkcji. Następnie omówić twierdzenie o residuach, podać przykłady obliczania całek. Część twierdzeń zostanie udowodniona.

Odwzorowania konforemne
Celem pracy jest przedstawienie ważnej klasy odwzorowań obszarów płaskich - odwzorowań konforemnych. Po wstępie zawierającym przykłady funkcji zmiennej zespolonej, definicję pochodnej funkcji zmiennej zespolonej i jej interpretację geometryczną, należy zdefiniować przekształcenie konforemne, podać przykłady. Szczególnie dokładnie należy omówić homografię. Pracę zakończy twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu wraz z dowodem.

Wybrane funkcje specjalne
Celem pracy jest przedstawienie ważnej klasy funkcji specjalnych ze szczególnym uwzględnieniem funkcji Γ Eulera i funkcji ζ Riemanna. Funkcje te zostaną zdefiniowane, będą podane i częściowo udowodnione ich własności.


Dr Zbigniew Marszałek


Szybkość zbieżności procesów iteracyjnych w metodach rozwiązywania układów równań liniowych dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych
W pracy zostaną opisane wybrane metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych w zastosowaniu do metody elementu skończonego. Zostaną przeprowadzone badania nad szybkością i stabilnością zbieżności proponowanych metod iteracyjnych. Wyniki badań posłużą do implementacji algorytmu w języku C++ CLR. Zaimplementowany algorytm zostanie wykorzystany do praktycznego rozwiązania zagadnienia w metodzie elementu skończonego. Opracowanie algorytmu oraz przeprowadzenie testów i badań jest wkładem własnym dyplomanta.

Szybkość zbieżności procesów iteracyjny rozwiązywania układów równań liniowych dla macierzy dowolnych
W pracy zostaną opisane wybrane metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych dla macierzy dowolnych. Zostaną przeprowadzone badania nad szybkością i stabilnością zbieżności proponowanych metod iteracyjnych. Wyniki badań posłużą do implementacji algorytmu w języku C++ CLR. Zaimplementowany algorytm zostanie wykorzystany do praktycznego rozwiązania za-dania modelowego. Opracowanie algorytmu oraz przeprowadzenie testów i badań jest wkładem własnym dyplomanta.

Wybrane metody rozwiązywania układów równań liniowych
Celem pracy jest przedstawienie metod rozwiązywania układów równań liniowych ze szczególnym uwzględnieniem rozkładu LU i metody Crouta. Wspomniane metody zostaną zaimplementowane w języku programowania C++ CLR. W pracy zostanie przedstawiona metoda elementu skończonego w zastosowaniu do rozwiązywania układów równań różniczkowych drugiego rzędu. Wkład pracy dyplomanta: implementacja metody rozwiazywania układów równań liniowych w przewodnictwie cieplnym.
Wybrane metody wyznaczania wartości własnych dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych
Celem pracy jest przedstawienie metody sprowadzania macierzy symetrycznej dodatnio określonej do postaci trójprzekątniowej i wyznaczania tej podstawie wyznaczania wartości własnych. Wspo-mniane metody zostaną zaimplementowane w języku programowania C++ CLR. implementacja wybranych metod i przykłady wyznaczenia wartości własnych dla zadanych macierzy są własnym wkładem dyplomanta.


Dr inż. Elwira Mateja-Losa


Matematyczna teoria portfela papierów wartościowych
W pracy należy omówić rodzajów papierów wartościowych (akcje, obligacje itp.) wraz z ich podstawowymi charakterystykami (stopa zwrotu, ryzyko). Zasadniczą częścią pracy jest analiza modeli rynku kapitałowego (model jednowskaźnikowy, model CAPM oraz model APT) na przykładach.

Matematyczne podejście do kredytu bankowego i jego analiza
W pracy należy omówić pojęcia związane ze spłatą długów. Wkładem własnym studentaki będzie analiza kredytów dostępnych obecnie na rynku kilku wiodących banków oraz budowa modelu symulacyjnego za pomocą pakietu oprogramowania Vensim Ple. Rachunek wartości przyszłej na zasadzie procentu składanego -- wizualizacja na modelu symulacyjnym.
W pracy należy przybliżyć tematykę rachunku wartości przyszłej. Wkładem własnym studentaki będzie budowa modelu symulacyjnego w programie Vensim Ple i analiza otrzymanych wyników.

Całkowanie numeryczne metodą Monte Carlo z budową modelu symulacyjnego w Vensim Ple
W pracy należy omówić metodę Monte Carlo z algorytmu którego korzysta oprogramowanie Vensim , przy-bliżyć pakiet oprogramowania Vensim Ple, a także zbudować własny model symulacyjny korzystając z Ven-sim Ple.


Dr Iwona Nowak


Numeryczne metody rozwiązywania układów równań
Celem pracy będzie szczegółowe omówienie wybranych metod numerycznych pozwalających na rozwiązywanie liniowych i nieliniowych układów równań. W pracy, poza prezentacją metod, omówione zostaną wady i zalety każdego podejścia oraz rozwiązane zostaną odpowiednie przykład.
Od wszystkich studentów oczekuje się umiejętności czytania prac naukowych w języku angielskim oraz programowania.

Numeryczne metody wyznaczania wartości własnych
Celem pracy będzie szczegółowe omówienie wybranych metod numerycznych wyznaczania wartości własnych. W pracy, poza prezentacją metod, omówione zostaną wady i zalety każdego podejścia oraz rozwiązane zostaną odpowiednie przykład. W pracy planuje się też podać przykłady zagadnień, w których wykorzystywane są wartości własne.
Od wszystkich studentów oczekuje się umiejętności czytania prac naukowych w języku angielskim oraz programowania.

Analiza błędów w metodach numerycznych
Celem pracy będzie szczegółowe omówienie jakie parametry należy brać pod uwagę przy ocenie pracy metod numerycznych i/lub heurystycznych. W pracy, poza prezentacją prawidłowej analizy błędów, rozwiązane zostaną odpowiednie przykłady, wyniku których poddane zostaną ocenie.
Od wszystkich studentów oczekuje się umiejętności czytania prac naukowych w języku angielskim oraz programowania.

Regularyzacja w problemach odwrotnych
Celem pracy będzie omówienie roli regularyzacji w rozwiązywaniu problemów odwrotnych. W ramach pracy omówione zostaną wybrane metody regularyzacji (regularyzacja Tichonova, filtry Kalmana itp.)
Od wszystkich studentów oczekuje się umiejętności czytania prac naukowych w języku angielskim oraz programowania.


Dr inż. Bożena Piątek


Funkcje o wahaniu skończonym
W pracy omówiona zostanie definicja funkcji o wahaniu skończonym, różne (własne!) przykłady i kontrprzykłady takich funkcji, ich podstawowe własności oraz warunki konieczne i dostateczne na to, aby funkcja miała wahanie skończone.
Ostatni rozdział pracy proponuję poświęcić którymś z licznych zastosowań funkcji o wahaniu skończonym, na przykład w teorii całki krzywoliniowej.

Wokół twierdzenia Banacha o punkcie stałym
Dowód twierdzenia Banacha o punkcie stałym dla kontrakcji zdefiniowanych na przestrzeniach metrycznych zupełnych należy do kanonu metod dowodzenia jakie prezentuje się studentom na przedmiocie analiza matematyczna. Jednak w przeciągu prawie stu lat od daty jego publikacji przez Stefana Banacha pojawiło się mnóstwo jego uogólnień dla szerszych klas odwzorowań na tych samych przestrzeniach. W pracy zawartych zostanie kilka przykładowych rozszerzeń, każde z nich uzupełnione będzie samodzielnie skonstruowanym przykładem pokazującym, że rzeczywiście jest to (w większym lub mniejszym stopniu) uogólnienie słynnego wyniku.

Związek ciągłości i całkowalności w sensie Riemanna
W pracy omówione zostanie związek ciągłości funkcji z całkowalnością w sensie Riemanna dla funkcji o wartościach w różnych typach przestrzeni (nie tylko w przestrzeniach euklidesowych).
W rozdziale poświęconym całce Riemanna w przestrzeniach skończenie wymiarowych w pracy pokażemy, że funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy miara (Lebesgue'a) zbioru punktów nieciągłości jest równa zero – jednakże nie będziemy przy tym odwoływać się do definicji całki Lebesgue'a i bardziej zaawansowanego aparatu teorii miary.
Zainteresowany tematem student może pokusić się o rozpatrzenie tego samego problemu w którejś z przestrzeni ciągowych (czyli nieskończeni wymiarowych).

Przestrzenie G-metryczne
Pojęcie G-metryki zostało wprowadzone przez Zeada Mustafa i Bradley'a Sims w 2004 roku jako uogólnienie pojęcia metryki. Głównym tematem proponowanej pracy jest bliższe przyjrzenie się funkcjom określonych na tego typu przestrzeniach (i o wartościach w tych samych przestrzeniach).
Ostatni rozdział pracy proponuję poświęcić teorii punktów stałych dla funkcji określonych powyżej.


Prof. dr hab. Aleksander Iwanow


Algorytmy. Grupy. Protokoły.
Praca dotyczy kryptografii opartej na grupach i podstawach algorytmicznych tego zagadnienia.
Decyzja, który z tych aspektów będzie dominujący w pracy, zostanie podjęta razem z dyplomantem.


Dr Beata Sikora


Wybrane zagadnienia podstaw teorii równań różniczkowych ułamkowego rzędu
• Definicja i własności funkcji gamma.
• Jedno- i dwuparametrowa funkcja Mittaga-Lefflera.
• Transformata Laplace’a funkcji Mittaga-Lefflera.
• Pochodne i całki rzędu ułamkowego wg. Riemanna-Liouville’a oraz Caputo – definicje oraz wybrane własności.
• Przykłady obliczania pochodnych i całek ułamkowych rzędów.
• Transformata Laplace’a pochodnych rzędu ułamkowego

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych ułamkowego rzędu
• Definicja i własności funkcji Mittaga-Lefflera.
• Transformata Laplace’a funkcji Mittaga-Lefflera.
• Wyznaczanie macierzy pseudo-tranzycji za pomocą odwrotnej transformaty Laplace’a.
• Rozwiązywanie równań liniowych metodą Laplace’a.
• Rozwiązywanie wybranych równań nieliniowych metodą Laplace’a.

Wybrane zagadnienia sterowalności ciągłych układów liniowych ułamkowego rzędu
• Definicja ciągłego układu liniowego ułamkowego rzędu wg. Caputo.
• Macierz pseudo-tranzycji – definicja i wybrane własności.
• Postać rozwiązania ciągłego układu liniowego ułamkowego rzędu.
• Macierz sterowalności.
• Definicja sterowalności ciągłych układów liniowych
• Kryterium sterowalności bazujące na macierzy sterowalności.

Wybrane zagadnienia sterowalności ciągłych układów liniowych ułamkowego rzędu przy ograniczeniach na sterowanie
• Definicja ciągłego, stacjonarnego układu liniowego ułamkowego rzędu wg. Caputo.
• Macierz pseudo-tranzycji – podstawowe wzory.
• Postać rozwiązania ciągłego układu liniowego ułamkowego rzędu.
• Stabilność ciągłego układu rzędu ułamkowego.
• Definicja sterowalności przy ograniczeniach na sterowanie.
• Kryteria sterowalności przy ograniczeniach na wartości sterowań.


Dr inż. Piotr Słanina


Arytmetyczne i geometryczne zastosowania liczb zespolonych
W tej pracy student ma szerokie możliwości wyboru różnych zastosowań liczb zespolonych. Do wybranych należą zastosowania wzoru de Moivre'a, rozwiązywania równań nad ciałem liczb rzeczywistych, istnienia konstrukcji wybranych wielokątów foremnych, rozwiązywania wybranych równań różniczkowych itp.

Równania kwaternionowe
Brak przemienności mnożenia kwaternionów implikuje większą złożoność rozwiązywania pewnych równań o współczynnikach z ciała kwaternionów. Przykładem może być równanie kwadratowe które należy zapisać w postaci ax^2+bx+xc+d=0. W pracy znajdą się wzory opisujące rozwiązywanie równań tego typu wraz z przykładami.

Gry macierzowe o macierzach górnotrójkątnych
Istnieją twierdzenia o istnieniu tzw. rozwiązań różnych gier czyli o istnieniu stanu równowagi wg Nash'a. Dla szczególnych przypadków można opracować sposoby rozwiązywania takich gier oparte na ich specyfice.
W pracy znajdą się opisy tych sposobów dla macierzy górnotrójkątnej z przykładami. Poza tym inne własności gier tego typu też mogą być w tej pracy, także w zależności od inwencji studenta przy pomocy promotora. Podstawą teoretyczną będzie tu książka „Wykłady z teorii gier” - Ernest Płonka.

Wybrane gry macierzowe o macierzach nieskończonych
Istnieją twierdzenia o istnieniu tzw. rozwiązań różnych gier czyli o istnieniu stanu równowagi wg Nash'a. W przypadku, gdy gra ma nieskończenie wiele stanów w strategiach czystych, rozwiązanie gry nie musi istnieć.
W pracy znajdą się przypadki macierzowych gier nieskończonych, które mogą być rozwiązywalne. Ich dobór będzie zależeć także od inwencji studenta przy pomocy promotora. Pojawi się też przykład macierzowej gry nierozwiązalnej. Podstawą teoretyczną będzie tu książka „Wykłady z teorii gier” - Ernest Płonka.
Ogólnie: Wybrane elementy algebry i teorii gier - do ustalenia z osobami piszącymi prace.


Dr inż. Roksana Słowik


Hua i fundamentalne twierdzenie o geometrii macierzy
Niech ρ oznacza relację określoną na zbiorze macierzy prostokątnych taką, że AρB, jeśli rząd różnicy A-B jest równy 1. W latach czterdziestych dwudziestego wieku matematyki chiński Luo Geng Hua udowodnił twierdzenie opisujące funkcje o dziedzinie i przeciwdziedzinie składających się z macierzy prostokątnych zachowujące relację ρ, które obecnie nazywane jest fundamentalnym twierdzeniem o geometrii macierzy.
Praca powinna zawierać przedstawienie owego twierdzenia wraz z dowodem, a także przedstawienie oraz dyskusję różnych uogólnień i wyników pobocznych, które zostały uzyskane przez różnych autorów studiujących to klasyczne twierdzenie.

Majoryzacja Hadamarda i funkcje, które ją zachowują
Praca powinna rozpoczynać się od podania definicji majoryzacji Hadamarda. Następnie wskazane zostaną własności tej relacji (wraz z dowodami). Korzystając z tychże własności student powinien dowieść twierdzeń, które opisują odwzorowania zdefiniowane na pierścieniu macierzy stopnia n o współczynnikach rzeczywistych zachowujące relację majoryzacji Hadamarda.

Równania nad ciałami skończonymi
Pracę rozpoczyna krótkie wprowadzenie na temat ciał skończonych. Następnie omawiane są sposoby rozwiązywania równań wielomianowych nad ciałami skończonymi postaci
ax + by = c

oraz
yd = f(x),

gdzie f jest wielomianem zmiennej x. Praca powinna zawierać uzasadnienie poprawności działania podanych metod, a także przykłady samodzielnie rozwiązane przez studenta. Możliwe jest również rozszerzenie tematu i zaprezentowanie metody rozwiązywania nad ciałami skończonymi równań postaci
f1(y) x1d1 + ... + fn (y) xndn = 0

lub układów równań postaci
{ (y_1^(d_1) = f_1 (x) ...... y_n^(d_n) = f_n(x).


Lokalizacja wartości własnych macierzy
Niech A=[aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n o elementach zespolonych. Tematem pracy jest rozwiązanie problemu znalezienia wartości własnych macierzy A. Ponieważ nie zawsze jest to możliwe, równie ważne jest wyznaczenie dostatecznie „małego” obszaru na płaszczyźnie zespolonej, który zawiera wszystkie wartości własne. Klasycznym przykładem takiego zbioru są dyski Gerszgorina, ale istnieją również inne ciekawe zbiory, które są rozwiązaniem tego problemu. W pracy powinny zostać przedstawione wybrane kryteria opisujące takie obszary. Część kryteriów może być sformułowana dla wybranych klas macierzy.


Dr inż. Andrzej Starosolski


Słowo o filtrach
Omówienie podstawowych definicji i własności filtrów i przykładów ich zastosowania w różnych działach matematyki (logika, t. mnogości, topologia, t. miary).

Filtry vs. ciągi uogólnione w topologii
Porównanie wybranych możliwości opisu własności topologicznych tymi narzędziami.

Małe liczby kardynalne
Omówienie własności klasycznych liczb kardynalnych nie większych niż continuum i relacji między nimi zachodzących w ZFC, wzmianka o relacjach przy dodatkowych założeniach teoriomnogiściowych;

Przestrzenie zbieżnościowe
Wstęp do teorii zbieżności, wprowadzenie podstawowych pojęć topologii na gruncie teorii zbieżności, zależności, zbieżności nietopologizowalne etc.


Dr inż. Witold Tomaszewski


Grupy metacykliczne
Celem pracy jest opisanie konstrukcji, klasyfikacji z dokładnością do izomorfizmu oraz własności skończonych i nieskończonych grup metacyklicznych. Opisane też będą struktury podgrup i podgrup normalnych grup metacyklicznych. Oprócz tego w pracy znajdą się twierdzenia mówiące o tym, że grupy spełniające pewne własności są metacykliczne. Część pracy będzie poświęcona przypomnieniu podstawowych faktów z teorii grup.

Uogólnione macierze odwrotne
Praca poświęcona będzie uogólnieniom koncepcji macierzy odwracalnych. Oprócz definicji znajdą się tu twierdzenia o istnieniu macierzy odwrotnych (w ogólnym sensie), o jednoznaczności, a także algorytmy pozwalające wyznaczać uogólnione macierze odwrotne. Zaprezentowane też będą różne zastosowania uogólnionych macierzy odwracalnych. Część pracy poświęcona będzie przypomnieniu podstawowych algorytmów rachunku macierzowego - głównie tych, które będą wykorzystywane do opisu koncepcji uogólnionych odwrotności.

Izometrie przestrzeni R2 i R3 w układzie współrzędnych
Praca poświęcona będzie izometriom płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej. Najpierw podana będzie klasyfikacja izometrii oraz opis grup izometrii płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej. W dalszej części pracy izometrie opisane będą jako przekształcenia afiniczne przestrzeni R2 i R3. Pokazane też będzie w jaki sposób mając dany wzór przekształcenia afinicznego można rozpoznać czy przekształcenie jest izometrią, jakim jest rodzajem izometrii i w jaki sposób można wyznaczyć ważne parametry przekształcenia (środek obrotu, kąt obrotu, oś symetrii itp.). Opisana teoria poparta będzie licznymi przykładami.

Teoria Polyà
Celem pracy jest zaprezentowanie podstawowych twierdzeń teorii Polyà. Najpierw opisane zostaną (ważne z punktu widzenia tematu pracy) pojęcia związane z grupami (a w szczególności grupami permutacji): przesunięcia, sprzężenia, indeksy cyklowe, typy permutacji itp. Następnie omówione będą koncepcje związane z działaniami grup na zbiorach: definicje działań, orbity, stabilizatory i różne fakty dotyczące tych pojęć. W dalszej części pojawi się Lemat Cauchy-Frobeniusa-Burnside'a (jako wstęp do opisu podstawowych twierdzeń) wraz z licznymi przykładami. Na końcu zaprezentowane zostaną twierdzenia Teorii Polyà, być może wraz z dowodami i przykładami.


Dr inż. Jacek Uryga


Matematyczne podstawy teorii przetwarzania cyfrowych sygnałów dźwiękowych
Możliwych jest kilka tematów wiążących się z kodowaniem sygnałów cyfrowych na potrzeby przesyłania ich przez różne kanały transmisji takich jak telefonia komórkowa, telefonia internetowa itp.

Analiza mikrolokalna funkcji uogólnionych za pomocą frontu fali
Zastosowanie pojęcia frontu fali do badania osobliwości funkcji uogólnionych w odniesieniu do ich dziedziny jak i dziedziny ich transformaty Fouriera.

Wybrane zagadnienia techniki eksploracji danych
Możliwych jest kilka tematów skupiających się na podstawach statystycznych, metodach sztucznej inteligencji wykorzystywanych w technikach eksploracji danych. W ramach tej tematyki możliwe byłoby wybranie dwóch tematów związanych z metodami statystycznymi i metodami sztucznej inteligencji.


Dr inż. Adam Woryna


Automaty Mealyy’ego i grupy generowane przez te automaty
W teorii automatów wyróżniamy dwa najważniejsze ich rodzaje: akceptory (automaty Rabina-Scotta) – służące do rozpoznawania słow i przetworniki (automaty Mealy’ego) – przekształcające słowa. Celem pracy jest omówienie pojęcia automatu Mealy’ego jako narzędzia do definiowania i badania grup automorfizmów pewnych drzew z korzeniem. Wprowadzi się podstawowe definicje, m.in. automatu Mealy’ego, przekształcenia automatowego oraz grupy G(A) generowanej przez automat permutacyjny A. Omowi się podstawowe własności tych pojęć. Wprowadzi się pojęcie permutacyjnego splotu grup (rekursji splotowej) i pokaże jak definiować i badać grupy G(A) za pomocą rekursji splotowej.

Grupa Grigorchuka i jej własności
W teorii grup wyróżnia się konstrukcję grupy Grigorchuka G. W ciągu ostatnich trzydziestu lat ukazało się wiele prac, w których dowodzi się ciekawych własności grupy G. Celem pracy jest przedstawienie niektórych wyników. W szczególności pokaże się, że grupa G rozwiązuje problem Milnora dotyczący istnienia grupy o wzroście pośrednim, jak również problem Burnside’a istnienia nieskończonej, skończenie generowanej grupy torsyjnej.

Kody jednoznacznie dekodowalne o dwóch i trzech słowach kodowych
W literaturze znana jest elegancka i prosta w opisie charakteryzacja kodów jednoznacznie dekodowalnych o dwóch słowach kodowych. Nie jest natomiast znana pełna charakteryzacja takich kodów o trzech słowach kodowych – znane są jedynie częściowe wyniki. Celem pracy jest omówienie rożnych własności kodów j.d. o dwóch lub trzech sowach kodowych. W szczególności wyprowadzi się wspomnianą wyżej charakteryzację kodów o dwóch słowach kodowych oraz niektóre znane rezultaty dot. kodów j.d. o trzech słowach kodowych.

O problemie sekretarek: celem pracy jest wyprowadzenie rozwiązania
klasycznej wersji problemu sekretarek, tj. problemu zatrudnienia najlepszej sekretarki spośród ustalonej liczby n sekretarek (klasyczna wersja problemu optymalnego zatrzymywania się). Przedstawi się uogólnienie tego problemu na wybór jednej spośrod k najlepszych sekretarek, gdzie k jest ustaloną liczbą mniejszą niż n, czyli wersję Gusein-Zade problemu sekretarek. W wersji tej rozwiązanie wyraża się w postaci pewnego niemalejącego ciągu (s1, … , sk) liczb naturalnych. Stosując analizę kombinatoryczną, wyprowadzi się postać ciągu optymalnego oraz odpowiadające mu prawdopodobieństwo sukcesu w przypadku k = 2. Omowi się także asymptotyczne zachowanie się ciągów optymalnych.


Dr inż. Marek Żabka


Komputerowe wspomaganie pracy matematyka za pomocą systemu MetaMath
Autor pracy powinien przejrzeć literaturę oraz Internet, aby odnaleźć systemy wspomagające dowodzenie twierdzeń. Po krótkiej analizie możliwości każdego z systemów należy skupić się na wybranym systemie: MetaMath.
MetaMath działa w oparciu o logikę matematyczną, a dokładniej w oparciu o regułę podstawiania. Pozwala na zapisywanie definicji i twierdzeń wraz z dowodami. Następnie możemy zweryfikować prawdziwość i kompletność dowodu lub odnaleźć luki. Sam MetaMath jest czymś w rodzaju teorii matematycznej.
Wkładem własnym powinno być opracowanie przykładów teorii (aksjomaty, reguły dowodzenia, definicje, twierdzenia oraz dowody) i ich sprawdzenie w systemie MetaMath. Dyplomant może też sprawdzić znane, wybrane dowody.
Główną trudnością jest zapis teorii matematycznej w języku MetaMatha.

Istnienie słabych automorfizmów w wybranych skończonych strukturach algebraicznych
Słaby automorfizm w skrócie to bijekcja, która zachowuje klon działań określonych na danej strukturze algebraicznej. Wiele prac na ten temat było opublikowanych w drugiej połowie dwudziestego wieku oraz w początkach tego wieku. Należy sprawdzić co napisano na temat słabych automorfizmów dla skończonych struktur algebraicznych, np. dla ciał skończonych lub grup skończonych.
Dyplomant powinien sformułować odpowiednie definicje i podstawowe twierdzenia na podstawie literatury. Dalej powinien wskazać konkretne przykłady oraz dokładną postać tych słabych automorfizmów. Ponieważ słaby automorfizm dla skończonej struktury algebraicznej to w szczególności bijekcja czyli pewna permutacja, więc zbiór słabych automorfizmów, to pewien podzbiór w zbiorze permutacji, jest to grupa w sensie składania permutacji. Można więc opisać w konkretnych przypadkach tę grupę. Główny problem polega na tym o ile ta grupa jest większa od grupy atomorfizmów tej samej struktury.

Grupy definiowane słowami w innej grupie
W grupie G można za pomocą słowa zdefiniować nowe grupy. Często są one izomorficzne, ale znane są przykłady, że tak nie jest. Ponadto najczęściej bada się przypadki, gdy „stara”' grupa może być zdefiniowana słowem w „nowej” grupie.
Dyplomant powinien zebrać odpowiednie definicje oraz podstawowe własności. W szczególności jest szereg własności grup (jak np. nilpotentność), które są zachowane w nowej grupie.
Należy sprawdzić w literaturze budowę takich słów grupowych w różnych klasach grup. Należy też odnaleźć przykłady grup, gdzie nowe grupy są nieizomorficzne ze starymi grupami lub postać jest nietypowa.

Struktura tożsamości grupowych o małej długości
W artykule „On equivalence of semigroup identities” z 2001 jest pokazana struktura tożsamości półgrupowych o długości mniejszej lub równej 5 (co dla tożsamości grupowych oznacza 10). Należy odnaleźć inne artykuły na ten temat oraz inną literaturę dotyczącą tożsamości. Zadaniem dyplomanta jest zanalizować strukturę tożsamości grupowych o długości mniejszej niż wybrana liczba n.
Oczywiście dyplomant powinien podać odpowiednie definicje, a dla odpowiednich miejsc w grafie zależności między tożsamościami podać odpowiednie dowody, przykłady lub wskazać na odpowiednie źródła w literaturze.