Kierunek Matematyka (st II): Tematyka prac dyplomowych magisterskich (2019/20)

Proponowana tematyka prac dyplomowych magisterskich na kierunku Matematyka stopień II
Rok akademicki 2019/2020



Prof. dr hab. Mykola Bratiichuk


Porównywanie estymatorów w statystyce matematycznej
Dla badań efektywności estymatorów w statystyce matematycznej stosują różne podejścia: średniokwadratowe, asymptotyczne, bajesowskie. Celem tej pracy jest opis tych podejść i ich demonstracja na konkretnych przykładach.

Bajesowkie podejście do konstrukcji estymatorów i testów statystycznych
Bajesowkie metody w statystyce matematycznej zwykłe nie występują w standardowym kursie tej dyscypliny (nawet na uniwersytetach). Celem tej pracy jest opis tej metody na przykładach konstrukcji konkretnych testów.

Proces Wienera i całka stochastyczna Ito
Celem tej pracy jest konstrukcja i stochastycznej całki Ito. Ponieważ całka ta jest ściśle związana z procesem Wienera ,to spora część pracy będzie poświęcona temu procesu.

Łańcuchy Markowa w zastosowaniach technicznych
Celem tej pracy jest opis różnych zastosowań łańcuchów markowa do opisu i badań układów technicznych.


Prof. dr hab. inż. Radosław Grzymkowski


Tematyka prac dyplomowych będzie związana z wybranymi narzędziami z zakresu modelowania matematycznego opartymi na rachunku różniczkowym i całkowym, algebrze liniowej, teorii optymalizacji i sterowania optymalnego oraz metodach obliczeń przybliżonych, które mają swoje zastosowania aplikacyjne. W szczególności mogą to być takie tematy jak:

Matematyczne strategie poszukiwania i wyboru optymalnego partnera

Matematyczne zależności opisujące związki uczuciowe między partnerami

Matematyka i sport

Przekształcenie różniczkowe Taylora i jego zastosowania

Przekształcenia całkowe oraz ich zastosowania (dwa, trzy tematy)


Dr hab. inż. Edyta Hetmaniok, prof. PŚ


Heurystyczne algorytmy optymalizacyjne inteligencji roju: idea działania, implementacja, analiza jakości rozwiązania, przykłady zastosowań
Celem prac z tej tematyki będzie omówienie wybranego algorytmu optymalizacyjnego inteligencji roju (np. algorytm nietoperza, kukułki, świetlika, inwazji chwastów, poszukiwania harmonii, ewentualnie inny algorytm znaleziony w literaturze). Wybrany algorytm przedstawiony zostanie pod względem genezy i inspiracji ze świata rzeczywistego, struktury, jakości otrzymanego rozwiązania, a także zalet i wad w stosunku do algorytmów klasycznych i nieklasycznych. W pracy opracowane zostaną odpowiednie procedury informatyczne oraz przykłady zastosowania (wymagana znajomość języka angielskiego i umiejętność programowania np. w Mathematice).

Rozwiązanie odwrotnego zagadnienia przewodnictwa ciepła przy użyciu wybranego algorytmu sztucznej inteligencji
Celem pracy będzie opracowanie i zaprogramowanie procedury rozwiązania odwrotnego zagadnienia przewodnictw ciepła przy użyciu wybranego optymalizacyjnego algorytmu sztucznej inteligencji (np. algorytmu pszczelego) oraz metody różnic skończonych. Zagadnienie odwrotne polegać będzie na odtworzeniu warunku brzegowego na jednym z brzegów obszaru na podstawie symulowanych pomiarów temperatury (wymagana znajomość języka angielskiego i dobra umiejętność programowania np. w języku C#).

Wybrane zagadnienia teorii optymalizacji
W pracach z tej tematyki przedstawione zostaną klasyczne i nieklasyczne metody optymalizacji modeli liniowych i nieliniowych. Spośród możliwych do omówienia metod można wymienić np. metody gradientowe, metody programowania kwadratowego, metody optymalizacji zagadnień z funkcjami o zmiennych rozdzielonych, metodę minimalizacji sumy wartości bezwzględnych odchyleń, minimalizację maksymalnej wartości funkcji celu, metody programowania hiperbolicznego, metodę dużych kroków, metodę kombinacji wypukłych, metodę kierunków dopuszczalnych czy metodę funkcji barierowych (ewentualnie inne metody znalezione w literaturze) a także nowoczesne metody heurystyczne. Wkład pracy własnej obejmować będzie oryginalne opracowanie podejmowanej tematyki na podstawie dostępnej literatury oraz stworzenie i omówienie własnych przykładów ilustrujących prezentowane zagadnienia.

Modelowanie ekonometryczne
Celem prac z tej tematyki będzie omówienie etapów budowania i weryfikacji modelu ekonometrycznego. Zasadniczym celem pracy będzie oszacowanie i zweryfikowanie modelu reprezentującego odpowiednią postać analityczną (np. modelu liniowego, nieliniowego, dynamicznego, wielorównaniowego) opisującego konkretne zjawisko i wysunięcie wniosków prognozujących zachowanie zjawiska na podstawie zbudowanego modelu (przydatna umiejętność programowania np. w Mathematice). Można się również skupić na omówieniu skutków naruszenia założeń metody najmniejszych kwadratów, najczęściej stosowanej w modelowaniu ekonometrycznym - zjawisk wynikających z naruszenia poszczególnych założeń, metod ich wykrywania i usuwania.


Dr hab. inż. Waldemar Hołubowski, prof. PŚ


Przestrzenie liniowe skończenie i nieskończenie wymiarowe

Permutacje zbiorów skończonych i nieskończonych

Macierze skończone i nieskończone

Grupy i pierścienie

Inne zagadnienia z zakresu algebry


Prof. dr hab. Aleksander Iwanow


Grupy metryczne. Metody logiki ciągłej
Teoretyczna praca badawcza dotycząca logiki matematycznej i grup/przestrzeni metrycznych. Wymagana znajomość języka angielskiego w stopniu umożliwiającym rozumienie tekstów matematycznych.

Protokoły kryptograficzne - algebra ogólna
Teoretyczna praca badawcza dotycząca algebry i kryptografii, w szczególności kryptografii opartej na grupach. Wymagana znajomość języka angielskiego w stopniu umożliwiającym rozumienie tekstów matematycznych.

Przestrzenie metryczne, grafy i zbiory uporządkowane
Teoretyczna praca badawcza dotycząca kombinatoryki grafów. Wymagana znajomość języka angielskiego w stopniu umożliwiającym rozumienie tekstów matematycznych.

Złożoność generyczna problemów kombinatorycznych
Zakładam, że praca będzie zawierała jednocześnie elementy badawcze i dydaktyczne dotyczące złożoności obliczeniowej problemów algebraicznych. Wymagana znajomość języka angielskiego w stopniu umożliwiającym rozumienie tekstów matematycznych.


Dr hab. inż. Wojciech Kempa, prof. PŚ


Modele kolejkowe i ich zastosowanie w naukach technicznych (telekomunikacja, informatyka) i ekonomicznych (systemy produkcyjne, logistyka)

Wybrane techniki i metody zaawansowanej statystyki i data mining

Wybrane zagadnienia probabilistyki

Modelowanie procesów i zjawisk o charakterze losowym

Biomatematyka (modele rozwoju populacji, migracji, rozprzestrzeniania się chorób, rozwoju epidemii, genetyka, biochemia i biologia molekularna)


Dr hab. Iwona Nowak (1 dyplomant)


Filtry Kalmana w problemach odwrotnych
Praca będzie polegała na opisie czym są filtry Kalmana, prezentacji ich działania oraz określeniu jak można wykorzystać je w rozwiązaniu problemu odwrotnego. Poza teoretycznymi rozważaniami praca będzie zawierała przykłady ilustrujące omawiany temat.
Od dyplomanta oczekuje się umiejętności programowania (na podstawowym poziomie, w dowolnym języku) oraz korzystania z literatury w języku angielskim.

Funkcje Greena jako narzędzie do rozwiązywania równań różniczkowych
Praca będzie polegała na opisie jak konstruuje się funkcje Greena dla równań różniczkowych oraz w jaki sposób są one wykorzystywane do rozwiązania równania. Poza teoretycznymi rozważaniami praca będzie zawierała przykłady ilustrujące omawiany temat.
Od dyplomanta oczekuje się umiejętności korzystania z literatury w języku angielskim oraz ewentualnie programowania (na podstawowym poziomie, w dowolnym języku).


Dr hab. Bożena Piątek


Teoria punktów stałych w różnych typach przestrzeni Banacha, ze szczególnym uwzględnieniem przypadku przestrzeni Hilberta oraz problemu stabilności FPP (własności punktu stałego) dla odwzorowań nieoddalających.


Dr hab. Beata Sikora


Pochodna zgodna – definicja, własności, zastosowania
Celem pracy będzie omówienie definicji i własności nowej pochodnej, tzw. pochodnej zgodnej (ang. conformable derivative), wyprowadzenie wybranych wzorów, wykazanie, że nie jest to pochodna rzędu ułamkowego oraz przedstawienie jej zastosowań.

Sterowalność liniowych układów dodatnich ułamkowego rzędu
Celem pracy będzie omówienie definicji i własności liniowych układów dodatnich ułamkowego rzędu z pochodną Caputo, przedstawienie postaci rozwiązania, sformułowanie i udowodnienie wybranych kryteriów sterowalności ww. układów oraz podanie przykładów ich zastosowań.


Dr hab. inż. Damian Słota, prof. PŚ


Zastosowania homotopijnej metody analizy
Celem pracy będzie omówienie zastosowania wymienionej metody do rozwiązania wybranego typu równań (różniczkowych, całkowych). W pracy będzie należało opisać metodę, omówić jej zbieżność oraz oszacowanie błędu formułując odpowiednie twierdzenia oraz przytaczając ich dowody. W pracy zawarte zostaną odpowiednie procedury obliczeniowe oraz przykłady ich zastosowania. Praca wymagać będzie znajomości języka angielskiego (w zakresie czytania prac naukowych) oraz umiejętności programowania, najlepiej w pakiecie Mathematica.

Metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych rzędu ułamkowego
Celem pracy będzie omówienie wybranej metody przybliżonego rozwiązania zadanego równania różniczkowych rzędu ułamkowego. W pracy będzie należało opisać metodę, omówić jej zbieżność oraz oszacowanie błędu formułując odpowiednie twierdzenia oraz podając ich dowody. W pracy zawarte zostaną odpowiednie procedury obliczeniowe oraz przykłady ich zastosowania. Praca wymagać będzie znajomości języka angielskiego (w zakresie czytania prac naukowych) oraz umiejętności programowania, najlepiej w pakiecie Mathematica.

Wybrane algorytmy numeryczne rozwiązywania zagadnień matematycznych
Celem pracy będzie omówienie wybranego algorytmu numerycznego rozwiązania zagadnienia matematycznego. W pracy będzie należało opisać algorytm, omówić jego zbieżność oraz oszacowanie błędu formułując odpowiednie twierdzenia oraz przytaczając ich dowody. W pracy zawarte zostaną odpowiednie procedury obliczeniowe oraz przykłady ich zastosowania. Praca wymagać będzie znajomości języka angielskiego (w zakresie czytania prac naukowych) oraz umiejętności programowania, najlepiej w pakiecie Mathematica.

Wybrane elementy teorii fraktali
Celem pracy będzie szczegółowe omówienie wybranego zagadnienia z teorii fraktali, np.: smoka Heigwaya, wymiaru fraktalnego wykresu funkcji, fraktali losowych. W pracy będzie należało opisać zagadnienie podając odpowiednią teorię matematyczną wraz z dowodami. Często praca będzie wymagała wykonanie różnych obliczeń i ilustracji graficznych, np. w pakiecie Mathematica. Praca wymagać będzie znajomości języka angielskiego (w zakresie czytania prac naukowych) oraz znajomości np. pakietu Mathematica.


Dr hab. inż. Roman Wituła, prof. PŚ


Wybrane zagadnienia z analizy funkcjonalnej - operatory jądrowe, geometria przestrzeni unormowanych

Transformacja Radona

Tematy z analitycznej teorii liczb, w tym Hipoteza Riemanna

Tematy z kombinatoryki analitycznej

Szeregi Dirichleta


Dr hab. Adam Woryna


Grupy automatowe: podstawowe definicje, przykłady i własności
W teorii automatów wyróżniamy dwa najważniejsze ich rodzaje: akceptory (automaty Rabina-Scotta) -- służące do rozpoznawania słów i przetworniki (automaty Mealy'ego) - przekształcające słowa. Celem pracy jest omówienie pojęcia automatu Mealy'ego jako narzędzia do definiowania i badania grup automorfizmów pewnych drzew z korzeniem. Wprowadzi się podstawowe definicje, m.in. automatu Mealy'ego, przekształcenia automatowego oraz grupy G(A) generowanej przez automat permutacyjny A. Omówi się podstawowe własności tych pojęć. Wprowadzi się pojęcie permutacyjnego splotu grup (rekursji splotowej) i pokaże jak definiować i badać grupy G(A) za pomocą rekursji splotowej.

Grupa Grigorchuka i jej własności
W teorii grup wyróżnia się konstrukcję grupy Grigorchuka G. W ciągu ostatnich trzydziestu lat ukazało się wiele prac, w których dowodzi się niezwykle ciekawych (z punktu widzenia teorii grup) własności grupy G. Celem pracy jest przedstawienie niektórych wyników. W szczególności pokaże się, że grupa G rozwiązuje problem Milnora dotyczący istnienia grupy o wzroście pośrednim, jak również problem Burnside istnienia nieskończonej, skończenie generowanej grupy torsyjnej.

Kody jednoznacznie dekodowalne o dwóch i trzech słowach kodowych
W literaturze znana jest niezwykle elegancka i prosta w opisie charakteryzacja kodów jednoznacznie dekodowalnych o dwóch słowach kodowych. Nie jest natomiast znana pełna charakteryzacja takich kodów o trzech słowach kodowych. Znane są jedynie częściowe wyniki. Celem pracy jest omówienie różnych własności kodów j.d. o dwóch lub trzech sowach kodowych. W szczególności wyprowadzi się wspomnianą wyżej charakteryzację kodów o dwóch słowach kodowych oraz niektóre znane rezultaty dot. kodów j.d. o trzech słowach kodowych.

O problemie sekretarek
Celem pracy jest wyprowadzenie rozwiązania klasycznej wersji problemu sekretarek, tj. problemu zatrudnienia najlepszej sekretarki spośród ustalonej liczby n sekretarek (klasyczna wersja problemu optymalnego zatrzymywania się). Przedstawi się uogólnienie tego problemu na wybór jednej spośród k najlepszych sekretarek, gdzie k jest ustaloną liczbą mniejszą niż n, czyli wersję Gusein-Zade problemu sekretarek. W wersji tej rozwiązanie wyraża się w postaci pewnego niemalejącego ciągu (s1,…, sk ) liczb naturalnych. Stosując analizę kombinatoryczną, wyprowadzi się postać ciągu optymalnego oraz odpowiadające mu prawdopodobieństwa sukcesu w przypadku k=2. Omówi się także asymptotyczne zachowanie się ciągów optymalnych.

Metody dowodzenia nierówności
W nauce szkolnej raczej nie zwraca się uwagi na metody wyprowadzania nierówności, a w wielu działach matematyki (jak choćby analiza matematyczna) różnorakie nierówności się pojawiają i stanowią podstawowe narzędzie w dowodach wielu twierdzeń. Celem pracy jest przedstawienie pewnych ogólnych metod dowodzenia nierówności. Każda z metod będzie ilustrowana starannie dobranymi przykładami. Omówione też będą pewne słynne nierówności (nierówność Janousa, nierówność Kelloga, nierówność Erdösa), w tym przypadki, których jeszcze nie udało się udowodnić.



Pobierz pliki

Pobierz w pdf (10 B)